RESEÑAS- REVIEWS

Armando Moreno

Reseñas de civilizaciones antiguas que haya hecho aportes al desarrollo de las matemáticas

Las matemáticas son la ciencia más antigua. Habría que remontarse a los albores de la humanidad para encontrar ya los primeros vestigios del número y de las formas geométricas.

 Ante las necesidades de la vida cotidiana, por ejemplo, saber cuántas 2 cabezas de ganado formaban su rebaño, el hombre prehistórico se vio obligado a realizar muescas o marcas en palos, árboles o huesos, como atestiguan los descubrimientos arqueológicos.

Estos descubrimientos, algunos de los cuales se fechan en más de 30.000 años, muestran que la idea de número es muy anterior a descubrimientos tecnológicos, como el uso de metales o de vehículos con ruedas, y mucho más antiguo que el arte de la escritura. Las figuras, las formas geométricas, aparecen claramente en los productos que elaboraban en alfarería, cestería y tejidos.

Paleolítico al neolítico,

En esta civilización se crea una nueva organización familiar, social y económica que demanda una mayor precisión en el contar y el medir. Las civilizaciones que se caracterizan por el uso de los metales surgen en grandes valles fluviales, como los que hay en Egipto, Mesopotamia, China e India. Se dispone de dataciones fiables de la historia de los pueblos que vivieron en los valles del Nilo y del Éufrates y Tigris, no tanto en el caso chino o indio.

Mesopotamia 

cuatro milenios antes de nuestra era, la llamada genéricamente civilización babilónica.

El modelo de escritura cuneiforme creado por los sumerios quedó plasmado en tablillas de arcilla blanda que, una vez escritas, se cocían en hornos o se endurecían secándolas al sol.

Estas tablillas, de las que se conservan decenas de miles, han soportado el paso del tiempo mucho mejor que los papiros egipcios, de modo que se posee una abundante documentación sobre la civilización babilónica, en lo que nos concierne, que son las matemáticas, recordemos que usaban un sistema de numeración posicional, por lo cual no precisaban de muchos signos para representar los números, y que en terminología moderna su base era 60. Sedes conoce el porqué de esta extraña elección, que da origen a un sistema de numeración sexagesimal y que aún hoy persiste en nuestro mundo decimal para medir ángulos tiempo.

La civilización egipcia.

En esta civilización surge en orígenes de las matemáticas están muy apegados a la realidad cotidiana: el comercio, el reparto de las herencias, la agrimensura... Nadie puede discutir este origen empírico de las matemáticas. Algo similar ocurre en la otra gran cultura de la antigüedad, en China.

La civilización griega,

En este siglo de Pericles, en el cual la literatura, el teatro, la música, la escultura y la filosofía alcanzaron cotas inigualables. Y también la lógica, la metafísica, la ética, la teoría del conocimiento.

 Aspectos relacionados con las matemáticas.

Zenón, discípulo de Parménides de Elea, critica acerbamente algunas de las concepciones pitagóricas, por ejemplo, la del movimiento como suma de pequeñas etapas, como hace en la paradoja, entre otras, de Aquiles y la tortuga, donde Aquiles el de los pies ligeros no alcanzaría nunca a una tortuga, por escasa que sea la distancia que medie entre este lento animal y el corredor. Quizás contribuyó, sin quererlo, a eliminar toda referencia al infinito de las matemáticas griegas.

 Aunque en el siglo V a.C todavía las matemáticas griegas no están sistematizadas, ya se plantean los tres problemas clásicos de la geometría: la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo, y su resolución mediante regla y compás, es decir, efectuando construcciones que sólo involucraran rectas y circunferencias.

David Jiménez

Los babilonios

Babilonia (imperio), antiguo reino de Mesopotamia, conocido originalmente como Sumer y después como Sumer y Acad, situado entre los ríos Tigris y Éufrates, al sur de la actual Bagdad (Irak). La denominación de este territorio, que llegó a constituirse como un gran imperio, deriva del nombre de la ciudad de Babilonia. La civilización babilónica, que duró desde el siglo XVIII hasta el VI  a.C. era como la sumeria que le precedió, de carácter urbano, aunque se basaba en la agricultura más que en la industria. El país estaba compuesto por unas doce ciudades, rodeadas de pueblos y aldeas. A la cabeza de la estructura política estaba el rey, monarca absoluto que ejercía el poder legislativo, judicial y ejecutivo. Por debajo de él había un grupo de gobernadores y administradores selectos. Los alcaldes y los consejos de ancianos de la ciudad se ocupaban de la administración local.

Desarrollaron una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes. Sus símbolos fueron escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol.  Miles de estas tablillas han sobrevivido hasta nuestros días. Gracias a ello, se ha podido conocer, entre otras cosas, gran parte de las matemáticas babilónicas. El aspecto más asombroso de las habilidades de los cálculos de los babilonios fue su construcción de tablas para ayudar a calcular. De las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc.

Fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagesimal (base 60) y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días. Su sistema de numeración  tuvo una gran desventaja debido a la falta de un cero. Para poder interpretar números en los que se hallaba el cero, como el 3601, debía guiarse según el contexto en que éste se encontraba. Fueron capaces de realizar grandes avances en matemáticas por dos razones: en primer lugar, el número 60 es un número compuesto, con muchos divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, lo cual facilita los cálculos con fracciones y en segundo lugar, poseían un verdadero sistema de notación posicional, en donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representan valores mayores tal y como en nuestro sistema de base diez. 

Finalmente, podemos afirmar con certeza que los babilonios fueron una de las primeras civilizaciones que utilizaron las matemáticas para resolver algunas situaciones cotidianas como la construcción de infraestructuras, comercio, solución a problemas que involucren espacio y tiempo entre otros. Uno de los eventos relevantes de esta civilización es sin duda el uso del sistema sexagesimal  o de base 60, el cual condujo a otros eventos que perduran en nuestros días; como el manejo del tiempo.

Los sumerios

Los sumerios fue una civilización que floreció hacia el cuarto milenio A.C (3.200), su ubicación geográfica se sitúa entre los deltas que forman los ríos Tigres y Éufrates y lo que actualmente corresponde a Irak.

La necesidad que tuvieron quienes gobernaban esta región, de medir o calcular las tierras, así como la producción de cosechas de granos, los tributos que debían pagar a quienes gobernaban, los alimentos que se debían utilizar en determinadas obras y,  en fin, en muchos aspectos, hizo que se creara un sistema de conteo utilizando figuras cónicas; de ahí el nombre de escritura cuneiforme (sistema de figuras cónicas).

Así por ejemplo, utilizaron una medida básica (cono pequeño de arcilla) que consideraron unidad de medida de sólidos; una segunda medida de forma esférica que equivalía a 10 veces esa unidad  y finalmente un cono mayor equivalente a 60 veces.

Para su sistema se tomó como patrón las tres falanges de cada dedo en el humano; así: 3 falanges por cuatro dedos (excluyendo el pulgar) daba 12, por 5 dedos de la otra  mano, 60. Así se denominó sistema sexagesimal (de 60 en 60). Así como el sistema posicional (ubicación de números por unidades, decenas, centenas y unidades de mil), de ahí los árabes al crear un nuevo sistema de conteo utilizaran también la forma posicional.

La medición matemática del tiempo también se fundamentó en el sistema sexagesimal (que cuenta o divide de 60 en 60). De allí  nuestra costumbre de dividir la circunferencia en 360º, la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos, se la debemos a los sumerios.

Fueron ellos los primeros en idear cantidades reales y abstractas mediante signos cuneiformes (conos) llegándose a considerar  la forma  más temprana de comunicación escrita y anticipándose con ello a los egipcios y a cualquiera otra forma de civilización humana. A este pueblo de origen incierto  denominado “los del rostro o facciones oscuras”  se  atribuyen las diferentes manifestaciones culturales de la escritura y las matemáticas, incluyendo conceptos de arquitectura, astronomía, códigos de leyes, así como, diferentes manifestaciones artísticas de gran belleza.

Se considera esta forma de civilización la más antigua y avanzada de las que conocemos (más de 5000 años). - Civilización que se desarrolló en torno a un grupo de ciudades al sur de la región Mesopotámica y en el delta que forman los ríos Tigris y Éufrates como se mencionó antes. Este pueblo sumerio desde épocas remotas ha brillado por su inteligencia y creatividad, lo que le ha merecido el nombre de cuna de la civilización occidental.

En épocas de crecidas del río y en épocas de sequía debían acudir a mediciones y reparticiones de áreas, para ello, se valían de cálculos geométricos y algebraicos. Las ciudades  no funcionaban aisladas como tales sino que estaban constituidas por ciudades-estado (varias ciudades formaban un estado), y procuraban tener un sistema unificado de normas de administración y de orden lo que hacía que compitieran unos estados con otros. Una de estas ciudades de la más remota antigüedad es la ciudad de Ur, descubierta por el inglés Leonard Woolley en el siglo pasado (1930) y que consta inclusive en la literatura hebrea como cuna del patriarca Abraham, Padre de los creyentes.

Con la escritura cuneiforme que apareció hacia el 3.200 a.C. se parte la civilización en dos periodos: prehistoria antes de la escritura cuneiforme y a partir de ésta, la historia remota de la civilización. Inicialmente el comercio se hizo basado en el sistema de trueque (unos objetos se intercambiaban por otros, (que guardaran cierta compensación en cuanto a su valor). Avanzando el tiempo el trueque se hizo insuficiente, los objetos eran mayores y más variados; de allí surge la necesidad de representar dichos objetos por lingotes de oro marcados con un sello real, así surgió el concepto de moneda. El patrón de peso y medida se basó en la cantidad representada en oro, de allí surge el talento  como patrón de peso, el pie como patrón de medida de longitud y la docena para el conteo de unidades.

Además del sistema cuneiforme de escritura, de los patrones en pesos y medidas crearon otras ayudas como  la rueda, el ladrillo cocido, el arado y los arreos o correas que se usaban en los animales de tiro.

Los egipcios

Fue una civilización que surgió hacia  el año 3000 a.C, su ubicación geográfica estaba situada en las riberas del cauce medio y bajo del río Nilo. 

Se consideran la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el éxito de la eficiencia y la inteligencia. Poseían conocimientos matemáticos considerados avanzados, pero sin la madurez que después obtuvieron los griegos. Sus cálculos no eran abstractos, siempre buscaron la aplicación práctica  aun cuando no tuvieran la reflexión teórica que posteriormente lograron los griegos. Sin embargo fueron precursores. Dominaban  los números (naturales y los racionales positivos de numerador 1)  y sus operaciones.  Además obtuvieron  la aproximación más acertada en la antigüedad al Valor de π=3’16. Valor que era indispensable para el cálculo del área del círculo.

Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas aplicándolas  a los problemas de áreas. La suma funcionaba bien pero su sistema de numeración presentaba ciertas dificultades aritméticas, como por ejemplo, la imposibilidad de organizarlos a la hora de multiplicar. Sin embargo lograron  que la aritmética fuera su fuerte.  Así, la multiplicación se realizaba a partir de duplicaciones y sumas, y en la división utilizaban la multiplicación a la inversa.

Elkin Andres Castro Bravo

Las Matemáticas griegas

Pese a que las Matemáticas ya eran avanzadas en tiempos anteriores (babilónicos y egipcios), hasta los griegos, la preocupación por esta ciencia era meramente práctica: medir, construir, contar,... Los griegos, sin embargo, se preocupan por reflexionar sobre la naturaleza de los números, sobre la naturaleza de los "objetos" matemáticos (geometría),... Convirtieron las Matemáticas en una ciencia racional y estructurada, con propiedades que se demuestran.

En realidad, la contribución de los griegos a las MATEMÁTICAS constituye el mayor avance de esta ciencia en el periodo comprendido entre la Prehistoria y el Renacimiento.

La Escuela Jónica fundada por TALES DE MILETO (en torno al 600 a.C.), fue la primera en comenzar el estudio científico de la Geometría. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico.

Más tarde fue la Escuela Pitagórica fundada por PITÁGORAS (en torno al 550 a.C.). Se le atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre otros, la demostración del conocido
  

Teorema de pitágoras : "En un triángulo rectángulo, LA HIPOTENUSA al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Además, los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro  disciplinas matemáticas: la aritmética, la música (o aritmética de intervalos musicales ), la geometría plana y la geometría esférica. La doctrina pitagórica sostenía que todas las razones que rigen el mundo debían ser razones de números enteros o fraccionarios; estos puntos de vista fueron combatidos por otra escuela griega importante: la escuela Elea; su crítica tomó la forma en los trabajos de Parménides y las célebres paradojas de Zenón